norg_norg (norg_norg) wrote,
norg_norg
norg_norg

СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

- уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к-рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению с теорией уравнений Фредгольма теория С. и. у. является более сложной.

[Spoiler (click to open)]
Так, напр., теории одномерных и многомерных С. и. у. как в смысле формулировок окончательных результатов, так и применяемых для их установления методов значительно отличаются друг от друга. Теория одномерных С. и. у. разработана более полно, причем ее результаты формулируются проще, чем аналогичные результаты в многомерном случае. Ниже в основном будет рассмотрен одномерный случай.
Важным классом одномерных С. и. у. являются уравнения с ядром Коши:

где а, b, k, f - известные функции, из к-рых k- ядро Фредгольма (см. Интегральный оператор),j - искомая функция, Г - плоская линия, а несобственный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.

где Г e=Гle , le обозначает дугу t'tt " линии Г такую, что длины дуг tt' и tt " равны e.
Оператор К, определяемый левой частью равенства (1), наз. сингулярным оператором (иногда его наз. общим сингулярным оператором):

где I - тождественный оператор, S - сингулярный интегральный оператор (иногда его наз. сингулярным интегральным оператором с ядром Коши), т. е.

Оператор K0=aI+bS наз. характеристической частью сингулярного оператора К, или характеристическим сингулярным оператором, а уравнение

- характеристическим С. и. у., функции а, b - коэффициентами соответствующего оператора или уравнения.
Уравнение

наз. союзнымс уравнением (1), а оператор K'=aI+SbI+V'(V'- интегральный оператор с ядром k(t, t)) - союзным с оператором К. В частности, К'0=аI+SbI является союзным с К 0.
Операторы К, К 0, К', К'0 или соответствующие им уравнения наз. нормального типа, если функции
А=а+b, В=а-b
не обращаются в нуль нигде на Г. В этом случае говорят также, что коэффициенты оператора или уравнения удовлетворяют условию нормальности.

Большое теоретическое и прикладное значение С. и. у. особенно проявилось с кон. 30-х гг. в связи с решением нек-рых весьма важных задач механики сплошной среды (теории упругости, гидро- и аэромеханики и др.) и теоретич. физики. Теория одномерных С. и. у. была значительно продвинута в 40-х гг. и получила в определенном смысле законченный вид в трудах советских математиков. Изложение такой теории одномерных С. и. у. в гёльдеровых классах функций дано в монографии одного из создателей этой теории Н. И. Мусхелишвили (см. [1]). Эта монография стимулировала научные исследования и в нек-рых других направлениях, напр. в теории С. и. у., не удовлетворяющих условию нормальности по Хаусдорфу, С. и. у. с недиагональными особенностями (со смещениями), уравнений Винера - Хопфа, многомерных С. и. у. и т. д. Первые исследования по многомерным С. и. у. принадлежат Ф. Трикоми (F. Tricomi, 1928), к-рый установил формулу перестановки двумерных сингулярных интегралов и применил ее к решению одного класса С. и. у. В этом направлении фундаментальное исследование принадлежит Ж. Жиро (G. Giraud, 1934), доказавшему справедливость теорем Фредгольма для нек-рых классов многомерных С. и. у. на ляпуновских многообразиях.

Лит.:[1] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [2] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 3 изд., М., 1977; [3] Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2 изд., М., 1970; [4] Хведелидзе Б. В., "Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН Груз. ССР", 1956, т. 23, с. 3-158; [5] Данилюк И. И., Нерегулярные граничные задачи на плоскости, М., 1975; [6] Гохберг И. Ц., Крупник Н., Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов, Киш., 1973; [7] Михлин С. Г., Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М., 1962; [8] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966: [9] Nоеthеr F., "Math. Ann.", 1921, Bd 82, S. 42-63; [10] Саrlemаn Т., "Arkiv mat., astron. och fys.", 1922, Bd 16, № 26, S. 1-19; [1l] Пресдорф 3., Некоторые классы сингулярных уравнений, пер. с нем., М , 1979 А. В. Бицадзе, Б. В. Хведелидзе.


Tags: а вам - слабо?, чотаржу
Subscribe
promo norg_norg april 3, 2014 00:00
Buy for 100 tokens
Будем честны, открыт сбор "на пиво-афтору" в знак дружеской поддержки: Яндекс-кошелек: 410013857280595 Сбер: 4276 3200 1375 2119, Qiwi: +79225608444, paypal.me/norg На интернет: https://kurgan.domru.ru/ № договора: 450004250573,
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 466 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →